Главная » Как правильно разное

Радиус описанной окружности правильного



Как найти радиус описанной окружности?

Часто в геометрии приходится сталкиваться с описанными окружностями и их радиусами. Это ведет к простому вопросу: как найти радиус описанной окружности? Описанная около многоугольника окружность - это окружность, проходящая через вершины этого многоугольника. Окружность - это место точек (геометрическое) в плоскости, которые равноудаленные от одной точки плоскости (центра).

Радиус описанной окружности треугольника

Чтобы найти радиус описанной окружности треугольника воспользуемся простой формулой для определения:

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Правильный многоугольник - это такой многоугольник, у которого равные стороны и углы. А угол между соседними вершинами правильного n-угольника равен:

BOA = x = 360°/n, где BOA - треугольник, x - длина его основания, n - это число сторон правильного многоугольника.

Построим треугольник BOA отдельно. О нём нам известно:

  1. он равнобедренный;
  2. бедра треугольника BOA - это так же радиусы описанной окружности правильного n-угольника;
  3. длина основания «x» треугольника BOA - это сторона исходного правильного многоугольника.
  4. угол между радиусами R, который мы прежде вычислили по формуле (**).

В первую очередь необходимо опустить высоту на основание и рассмотреть прямоугольный треугольник, который у нас получился. С помощью тригонометрических функций угла (в данном случае острого) получаем:

sin(360°/2n) = x/2R, с чего получаем формулу собственно радиуса описанной окружности правильного n-угольника:

R = x/(2sin(360°2n)), R - это радиус описанной окружности правильного n-угольника, x - сторона правильного многоугольника и n - это число сторон правильного многоугольника.

Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника. Пусть r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной. - презентация

Презентация на тему: Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника. Пусть r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной. — Транскрипт:

2 Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника. Пусть r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности, п – количество сторон и углов многоугольника. Рассмотрим правильный п-угольник. А С В О. α/2 Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности. ОС – высота АОВ. Рассмотрим АОС: Пусть а – сторона п-угольника, С = 90º - (по построению), α – угол. ОАС = α/2 - (ОА – биссектриса угла п- угольника), АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника), пусть АОС = β. тогда β = 0,5 АОВ АОВ = 360º. п, = 0,5 (360º. п)= 180º. п. R = ОВ= СВ sinβ = а 2sin (180º. п) r = ОС= СВ tgβ а 2tg (180º. п) = а а/2а/2 β

3 R = R = а 2sin (180º. п) r = а 2tg (180º. п) У правильного треугольника п = 3,тогда 180º. п= 180º. 3= 60º, откуда 2sin60º =2 3 2 =3, R3 = R3 = r3 =r3 = значит а 3 2tg60º =2 3 а 2323 значит У правильного четырехугольника п = 4,тогда 180º. п= 180º. 4= 45º, откуда 2sin45º =2 2 2 2, r4 =r4 = значит а 2 2tg45º =2 1 = 2, а 2 значит = R4 R4 = У правильного шестиугольника п = 6,тогда 180º. п= 180º. 6= 30º, откуда 2sin30º = 2 1 2 =1, R6 = а R6 = азначит r4 =r4 = 2tg30º =2 значит 3 1 а. 2 3 = а3 2

4 ф и г у р а R,R, r треугольникквадратшестиугольник R r а 3 а 2323 а 2 а 2 а а3 2

5 Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу: апап а3а3 а4а4 а6а6 Через R Через r 2R sin(180º. п) 2r tg (180º. п) R3R3R2R 2r32r32r 3

Источник: http://www.myshared.ru/slide/554770/

Вписанныйв кругмногоугольник.

Описанныйоколо кругамногоугольник.

Описанныйоколо многоугольника круг .

Вписанныйв многоугольник круг .

Радиус вписанного в треугольник круга.

Радиус описанного около треугольника круга.
Правильный многоугольник.

Центр и апофема правильного многоугольника .
Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников .

Вписанным в круг называется многоугольник,вершины которого расположены на окружности ( рис.54 ). Описанным около круга называется многоугольник,стороны которого являются касательными к окружности

Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника ( рис.54 ), называется описанной около многоугольника ; окружность, длякоторой стороны многоугольника являются касательными ( рис.55 ), называется вписанной в многоугольник . Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.

Радиус r вписанного круга выражается через стороны a. b. c треугольника:

Радиус R описанногокруга выражается формулой:

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба ( квадрата ). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырёхугольника можно описать круг, если сумма егопротивоположных углов равна 180 . Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника ( квадрата ). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг. еслитолько она равнобочная.

Правильный многоугольник – это многоугольник с равными сторонами и углами.

На рис.56 показан правильный шестиугольник, а на рис.57 – правильный восьмиугольник. Правильный четырёхугольник – это квадрат; правильный треугольник – равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180 ( n – 2 ) / n , где n – число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O ( рис. 56 ), равноудалённая от всех его вершин ( OA = OB = OC = … = OF ), которая называется центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудалён от всех его сторон ( OP = OQ = OR = … ). Отрезки OP. OQ. OR. … называются апофемами ; отрезки OA. OB. OC. …– радиусы правильного многоугольника. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема. Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников:

Для большинства правильных многоугольников невозможно выразить посредством алгебраической формулы соотношение между их сторонами и радиусами.

П р и м е р. Можно ли вырезать квадрат со стороной 30 см из круга

диаметром 40 см?

Р е ш е н и е. Наибольший квадрат, заключённый в круг, есть вписанный

квадрат. В соответствии с вышеприведенной формулой его

Следовательно, квадрат со стороной 30 см невозможно выре зать

Источник: http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo11.htm

Источники: http://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-najti-radius-opisannoj-okruzhnosti, http://www.myshared.ru/slide/554770/, http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo11.htm






Комментариев пока нет!

Поделитесь своим мнением



© Все права защищены 2018.