Главная » Как правильно составить

Составить систему уравнений в правильной форме коши



Запись дифференциальных уравнений в нормальном форме Коши.

При рассмотрении многих вопросов удобно, если уравнения одномерных и многомерных систем записаны в виде нормальной системы. Нормальной системой или системой в нормальной форме Коши называют систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. В частности, нормальной системой линейных дифференциальных уравнений называют систему

В матричной форме она записывается как

Матрицы-столбцы также называют векторами. Вектор х называют фазовым вектором или вектором состояния, а его координаты — фазовыми координатами. Вектор и называют вектором управления или просто управлением, а его координаты — параметрами управления: Вектор называют вектором возмущения или просто возмущением, а его координата — возмущением или возмущающим воздействием.

Наряду с неоднородным уравнением (2.74) рассмотрим однородное уравнение

Пусть образует линейно независимых решений этого уравнения. Любую такую систему называют фундаментальной системой решений уравнения (2.75). Составим матрицу, полагая в качестве ее столбца решение из фундаментальной системы:

Эту матрицу называют фундаментальной матрицей уравнений (2.73) — (2.75). Если при фундаментальная матрица обращается в единичную, то она называется нормированной. Используя произвольную фундаментальную матрицу Ф (0. нормированную (обозначим ее можно представить в виде

С помощью нормированной фундаментальной матрицы решение неоднородного уравнения (2.74) при всех t и можно представить в виде соотношения

которое называется формулой Коши. В справедливости этой формулы легко убедиться непосредственной подстановкой в уравнение (2.74), воспользовавшись при этом матричным уравнением

которое справедливо во всех Это уравнение следует из того, что каждый столбец фундаментальной матрицы является решением (2.75).

Отметим ряд основных свойств нормированной фундаментальной матрицы. Воспользовавшись (2.76), для любых и легко получить следующие равенства:

Если матрица А постоянна, то фундаментальная матрица зависит только от разности к имеет вид Матричная функция называется экспоненциальной матрицей или матричным экспоненциалом и определяется суммой ряда

Рассмотрим уравнение, сопряженное (2.75): . Если нормированная фундаментальная матрица этого уравнения, т. е.

то формулу Коши можно представить в виде

Действительно, дифференцируя тождество получаем

Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Коши уравнение


    При фиксированной температуре мы получим теперь В совместных уравнений. которые должны быть разрешены относительно Л равновесных степеней полноты реакций. Интересно отметить, что любое предварительное упрощение этих уравнений путем возведения их в различные степени и умножения друг на друга эквивалентно линейному преобразованию исходной системы реакций. Таким образом. как и следовало ожидать, эквивалентные системы реакций приводят к одним и тем же равновесным составам. Можно показать, что эти уравнения всегда имеют единственное решение. так как их якобиан существенно положителен. Общее доказательство этого утверждения связано с применением неравенства Коши однако в случае двух реакций доказательство элементарно и будет дано ниже как упражнение. Поскольку при расчете равновесия сложного процесса вычисления могут быть громоздкими, важно следить за тем, чтобы число расчетных уравнений было минимальным. Для этого следует рассматривать только независимые реакции и использовать в качестве переменных их степени полноты. [c.58]

    Этот результат представляется странным, потому что, казалось бы решение задачи Коши спустя достаточно большое время после начала движения должно забывать о деталях, связанных с начальным условием. и становиться автомодельным. Рассмотрим решение неавтомодельной задачи Коши [уравнения (IX.2.11)], соответствующей начальному условию [c.253]

    Пусть функция и задана на начальной кривой Г(. проходящей через точку (Хд, /о) и требуется ее определить в некоторой окрестности Г(. т. е. решить задачу Коши для уравнения (п. 9). В общем случае можно вычислить первые и высшие производные из уравнения (п.9) в точке (Х(), о). Тогда функцию и можно найти на близкой соседней кривой посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности точки на начальной кривой. [c.411]


    Поскольку внутренняя энергия U есть функция состояния. ее дифференциал является полным. Согласно теореме Коши. порядок дифференцирования безразличен, и из (1.26) сразу следует первое уравнение Максвелла [c.27]

    Правые части (3.79) являются гладкими, (т. е. сколь угодно раз дифференцируемыми) в окрестности начального вектора у. откуда следует, что решение у(у. I) начальной задачи Коши существует и непрерывно зависит от координат начальной точки. Это означает, что начальная задача Коши поставлена корректно. Известно также, что решение системы кинетических уравнений (3.79) является устойчивым и асимптотически устойчивым по Ляпунову [7, 36]. [c.170]

    Далее решалась задача Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений первого порядка (2.236). Система (2.236) интегрировалась методом Рунге—Кутта с помощью программы. описанной в [66]. Спустя некоторое время после начала счета ЭВМ выдавала переполнение. Причина переполнения строго анализировалась. Система уравнепий (2.236) оказалась плохо обуслов- [c.218]

    Так как А — функция состояния. то согласно теореме Коши значение ее производных не зависит от порядка дифференцирования. Отсюда, приравнивая вторые производные. получим уравнение [c.226]

    Рассмотрим решение у(х, а, X) задачи Коши г/ =/(. Я), г/ 1о = 0, /1х=о = а. Любое решение задачи (9) совпадает с функцией у х, о, X) при некотором о, удовлетворяющем уравнению [c.89]

    Системы дифференциальных уравнений. описывающие поведение как быстрой, так и медленной подсистемы, называются жесткими. Основные сложности, возникающие при численном решении прямой кинетической задачи. связаны именно со свойством жесткости задачи Коши  [c.130]

    Во всех рассматриваемых памп случаях удается свести краевую задачу к задаче Коши. выбирая естественным образом параметризацию. Прп этом возможность представления решений в неявном виде позволяет свести задачу об определении начальных данных для искомого решения к задаче решения функционального уравнения. [c.92]

    Для решений каждой из задач (19) —(22) получены априорные оценки, позволяющие доказывать теоремы об устойчивости, если есть устойчивость в первом приближении. для малых по норме С отклонений начальных данных от стационарного решения. При этом требуется, чтобы задача Коши для уравнения [c.94]

    Во втором случае условия (У,22) будут определять некоторые из значений для Ж-го блока сопряженного процесса, а условия (У.26) — некоторые из значений для его первого блока. Фактически в данном случае требуется решить систему разностных уравнений (У,14), (У,15) с краевыми условиями. Ясно, что эта задача более трудоемка, чем задача Коши. которую приходится решать в первом случае. [c.210]

    Систему уравнений (VI,1), (VI,6) и (У1,8) нельзя решать как задачу Коши в связи с тем, что при t = О неизвестны значения ф/ (0) ( = 1 -1 ) Не будем пока обращать внимания на условия (У1,3) и (VI,9), заданные при Смотреть страницы где упоминается термин Коши уравнение. [c.97]    [c.213]    [c.345]    [c.118]    [c.7]    Реология полимеров (1977) -- [ c.15 ]

ПОИСК

Источник: http://chem21.info/info/339412/

ТОЭ, ТЭЦ, электротехника - все решения у нас! Недорого, быстро, качественно, гарантия!

Лекции по ТОЭ/ №74 Расчет переходных процессов методом переменных состояния.

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.

В более узком смысле в математике уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производных (форма Коши). Система уравнений состояния в обобщенной форме имеет вид:

Та же система уравнений в матричной форме:

или в обобщённой матричной форме:

Система уравнений состояния формы Коши решается методом численного интегрирования (метод Эйлера или метод Рунге-Кутта) на ЭВМ по стандартной программе, которая должна быть в пакете стандартных программ. При отсутствии такой программы в пакете она легко может быть составлена по следующему алгоритму (метод Эйлера) для к-го шага:

Значения производных на к-ом шаге:

Значения переменных на к-ом шаге:

Для определения значений переменных и их производных на 1-м шаге ин¬тегрирова¬ния используются их значения на момент t=0, т.е. их начальные условия x1 (0), x2 (0). xn (0).

Уравнения состояния формы Коши для заданной схемы могут быть получены из системы уравнений Кирхгофа путем их преобразования. Для этой цели: а) из системы уравнений Кирхгофа методом подстановки исключаются ''лишние'' переменные, имеющие зависимые начальные условия, и оставляют переменные iL (t) и uC (t), которые не изменяются скачком и имеют независи-мые начальные условия iL (0) и uC (0); б) оставшиеся уравнения решаются относительно производных и приводятся их к форме Коши.

В случае сложных схем уравнения состояния формы Коши могут быть составлены топологическими методами с использованием матриц соединений [A] и [B].

Последовательность расчета переходного процесса методом переменных состояния выглядит так:

1. Производится расчет схемы в установившемся режиме до коммутации и определяются независимые начальные условия iL (0) и uC (0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации.

3. Методом исключения ''лишних'' переменных система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши, составляются матрицы коэффициентов.

4. Выбирается расчетное время (продолжительность переходного процесса) и число шагов интегрирования N.

5. Решение задачи выполняется на ЭВМ по стандартной программе. Выходную функцию получают в виде графической диаграммы x=f(t)или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

Пример. Для схемы рис. 74.1 с заданными параметрами элементов (e(t)=Em sin(#969;t+#968;E ), R, R1. R2. R3. L1. L2. C) выполнить расчет переходного процесса и определить функцию uab (t).

1. Выполняется расчет схемы в установившемся режиме переменного тока до коммутации и определяются начальные условия i1 (0), i2 (0), uC (0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

3. Система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши.

Составляем матрицы коэффициентов:

Желаем удачного изучения материала и успешной сдачи!

Источник: http://toehelp.com.ua/lekcii/074.htm

Источники: http://edu.alnam.ru/book_v_tau1.php?id=36, http://chem21.info/info/339412/, http://toehelp.com.ua/lekcii/074.htm





Комментариев пока нет!
Ваше имя *
Ваш Email *

Сумма цифр: код подтверждения



© Все права защищены 2017.